在概率论中,条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望。换句话说,这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望。它也被称为条件期望或条件均值。
条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。
设
和
是离散随机变量,则
在给定事件
条件时的条件期望是
的在
的值域的函数
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2165ca2c69d54baf44a4bfcb3498b464ca271a30)
其中,
是处于
的值域。
如果现在
是一个连续随机变量,而
仍然是一个离散变量,条件期望是:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7146b07c5de2762406534cafde6f4b8e69750c3)
其中,
是在给定
下
的条件概率密度函数。
正式的定义[编辑]
给定
是一个定义在概率空间
上的随机变量,
是
的一个子σ-代数,且
。
则定义
在给定
下的条件期望
是满足以下两个条件的随机变量
:
是
上的可测函数;
。
在这一定义下,
是存在且在几乎必然的意义下唯一的。[1]
条件概率的定义[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Rick Durrett, Richard. Probability : theory and examples Fifth. Cambridge: Cambridge University Press. : 178–180. ISBN 9781108591034.
外部链接[编辑]